Algèbre linéaire Exemples

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d & g h & j \end{matrix}] [\begin{matrix} a b \end{matrix}] + [\begin{matrix} A^{- 1} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d & g \\ h & j \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] + [\begin{array}{c} A^{- 1} \\ 0 \end{array}] q i$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez

[\begin{matrix} d & g h & j \end{matrix}] [\begin{matrix} a b \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} d & g \\ h & j \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}]$ .

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Étape 1.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

2 \times 2

$2 \times 2$ and the second matrix is

2 \times 1

$2 \times 1$ .

Étape 1.1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} A^{- 1} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} A^{- 1} \\ 0 \end{array}] q i$

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} A^{- 1} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} A^{- 1} \\ 0 \end{array}] q i$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{1}{A} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1}{A} \\ 0 \end{array}] q i$

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{1}{A} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1}{A} \\ 0 \end{array}] q i$

Étape 2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{1}{A} 0 \end{matrix}] q i

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1}{A} \\ 0 \end{array}] q i$ .

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + q i [\begin{matrix} \frac{1}{A} 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + q i [\begin{array}{c} \frac{1}{A} \\ 0 \end{array}]$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez

q i

$q i$ par chaque élément de la matrice.

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} q i \frac{1}{A} q i \cdot 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} q i \frac{1}{A} \\ q i \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.1.2.1

Multipliez

q i \frac{1}{A}

$q i \frac{1}{A}$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Associez

\frac{1}{A}

$\frac{1}{A}$ et

q

$q$ .

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{q}{A} i q i \cdot 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q}{A} i \\ q i \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.1.2.1.2

Associez

\frac{q}{A}

$\frac{q}{A}$ et

i

$i$ .

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{q i}{A} q i \cdot 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q i}{A} \\ q i \cdot 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{q i}{A} q i \cdot 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q i}{A} \\ q i \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez

0

$0$ par

q

$q$ .

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{q i}{A} 0 i \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q i}{A} \\ 0 i \end{array}]$

Étape 3.1.2.3

Multipliez

0

$0$ par

i

$i$ .

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{q i}{A} 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q i}{A} \\ 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{q i}{A} 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q i}{A} \\ 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b h a + j b \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{q i}{A} 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b \\ h a + j b \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{q i}{A} \\ 0 \end{array}]$

Étape 3.2

Additionnez les éléments correspondants.

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b + \frac{q i}{A} h a + j b + 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b + \frac{q i}{A} \\ h a + j b + 0 \end{array}]$

Étape 3.3

Additionnez

h a + j b

$h a + j b$ et

0

$0$ .

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b + \frac{q i}{A} h a + j b \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b + \frac{q i}{A} \\ h a + j b \end{array}]$

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} d a + g b + \frac{q i}{A} h a + j b \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} d a + g b + \frac{q i}{A} \\ h a + j b \end{array}]$

Étape 4

Move all terms containing a variable to the left side.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez

[\begin{matrix} d a + g b + \frac{q i}{A} h a + j b \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} d a + g b + \frac{q i}{A} \\ h a + j b \end{array}]$ des deux côtés de l’équation.

[\begin{matrix} a b \end{matrix}] - [\begin{matrix} d a + g b + \frac{q i}{A} h a + j b \end{matrix}] = 0

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] - [\begin{array}{c} d a + g b + \frac{q i}{A} \\ h a + j b \end{array}] = 0$

Étape 4.1.2

Soustrayez les éléments correspondants.

⎡ ⎣ \begin{matrix} a - (d a + g b + \frac{q i}{A}) b - (h a + j b) \end{matrix} ⎤ ⎦ = 0

$[\begin{array}{c} a - (d a + g b + \frac{q i}{A}) \\ b - (h a + j b) \end{array}] = 0$

Étape 4.1.3

Simplify each element.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

[\begin{matrix} a - (d a) - (g b) - \frac{q i}{A} b - (h a + j b) \end{matrix}] = 0

$[\begin{array}{c} a - (d a) - (g b) - \frac{q i}{A} \\ b - (h a + j b) \end{array}] = 0$

Étape 4.1.3.1.2

Supprimez les parenthèses.

[\begin{matrix} a - d a - g b - \frac{q i}{A} b - (h a + j b) \end{matrix}] = 0

$[\begin{array}{c} a - d a - g b - \frac{q i}{A} \\ b - (h a + j b) \end{array}] = 0$

[\begin{matrix} a - d a - g b - \frac{q i}{A} b - (h a + j b) \end{matrix}] = 0

$[\begin{array}{c} a - d a - g b - \frac{q i}{A} \\ b - (h a + j b) \end{array}] = 0$

Étape 4.1.3.2

Simplifiez chaque terme.

[\begin{matrix} a - d a - g b - \frac{q i}{A} b - h a - j b \end{matrix}] = 0

$[\begin{array}{c} a - d a - g b - \frac{q i}{A} \\ b - h a - j b \end{array}] = 0$

[\begin{matrix} a - d a - g b - \frac{q i}{A} b - h a - j b \end{matrix}] = 0

$[\begin{array}{c} a - d a - g b - \frac{q i}{A} \\ b - h a - j b \end{array}] = 0$

[\begin{matrix} a - d a - g b - \frac{q i}{A} b - h a - j b \end{matrix}] = 0

$[\begin{array}{c} a - d a - g b - \frac{q i}{A} \\ b - h a - j b \end{array}] = 0$